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MÉCANIQUE CÉLESTE.

tités de l’ordre $m^{2}$ supposer $\mathrm {\overline {B}} ^{(0)}$ égal à $\mathrm {B} _{1}^{(0)}.$ Ce résultat, auquel conduit la considération de la partie $-r^{2}\mathrm {Q} '$ de l’expression de $\mathrm {Q}$, nous dispense de considérer ici cette partie ; nous pouvons ainsi faire

$\delta s={\frac {k'}{g-1}}\left[\sin f\upsilon +\mathrm {B} _{1}^{(0)}\sin(2\upsilon -2m\upsilon -f\upsilon )\right].$

Déterminons maintenant $\delta u.$ Pour cela, reprenons la seconde des équations (L) du n^o 1 du Livre VII. En faisant usage de la valeur précédente de $\mathrm {Q}$ et ne considérant que le dernier terme de cette valeur, l’intégrale

$2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{u^{2}}}$

donnera le terme

$-{\frac {2k'\cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta )}{g-1}}.$

Ainsi la fonction

$\left({\frac {d^{2}u}{d\upsilon ^{2}}}+u\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{u^{2}}}\right)$

du second membre de la seconde des équations (L) citées renferme le terme

$-{\frac {2k'\cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta )}{g-1}}.$

Le développement de ce second membre renferme encore, comme on l’a dit dans le numéro précédent, le terme $3s\delta s.$ Il faut ici substituer, pour $s,$

$\gamma \sin(g\upsilon -\theta )+\mathrm {B} _{1}^{(0)}\gamma \sin(2\upsilon -2m\upsilon -g\upsilon +\theta ),$

et, pour $\delta s,$

${\frac {k'}{g-1}}\left[\sin f\upsilon +\mathrm {B} _{1}^{(0)}\sin(2\upsilon -2m\upsilon -f\upsilon )\right],$

et alors ce terme donne les suivants :

${\begin{aligned}&{\frac {3}{2}}{\frac {\gamma k'}{g-1}}\cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta )\\-&{\frac {3}{2}}{\frac {k'\mathrm {B} _{1}^{(0)}\gamma }{g-1}}\left[{\begin{aligned}&\cos(2\upsilon -2m\upsilon +g\upsilon -f\upsilon -\theta )\\+&\cos(2\upsilon -2m\upsilon -g\upsilon +f\upsilon +\theta )\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$