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LIVRE XVI.

La seconde des équations (L) citées donne donc, en négligeant les termes de l’ordre $m^{2},$

${\begin{aligned}\delta u=&-{\frac {\gamma k'}{2(g-1)}}\cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta )\\-&{\frac {1}{2}}{\frac {\gamma k'}{g-1}}\mathrm {B} _{1}^{(0)}\left[{\begin{aligned}&\cos(2\upsilon -2m\upsilon +g\upsilon -f\upsilon -\theta )\\+&\cos(2\upsilon -2m\upsilon -g\upsilon +f\upsilon +\theta )\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

On a, à très-peu près,

$r\delta r=-\delta u+s\delta s\,;$

en substituant pour $\delta u$ et $s\delta s$ leurs valeurs précédentes, on aura

$r\delta r=0\,;$

l’expression précédente de $d\delta u$ deviendra donc

$d\delta \upsilon =-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}+10k'\gamma d\upsilon \sin(g\upsilon -f\upsilon -\theta ).$

Il est facile de voir que ${\frac {d(dr\delta r)}{dt}}$ est ici nul, et qu’ainsi l’on a

$d\delta \upsilon =10k'\gamma d\upsilon \sin(g\upsilon -f\upsilon -\theta ).$

Cette valeur de $d\delta \upsilon$ se rapporte à l’orbite même de la Lune, et, pour la rapporter à l’écliptique, il faut, comme on l’a vu dans le numéro précédent, lui ajouter

${\frac {1}{2}}\delta \left(s^{2}-{\frac {ds^{2}}{d\upsilon ^{2}}}\right)d\upsilon .$

Si l’on substitue, pour $s,$

${\begin{aligned}\gamma &\sin(g\upsilon -\theta )+\mathrm {B} _{1}^{(0)}\gamma \sin(2\upsilon -2m\upsilon -g\upsilon +\theta )\\&+{\frac {k'}{g-1}}\sin f\upsilon +{\frac {k'\mathrm {B} _{1}^{(0)}}{g-1}}\sin(2\upsilon -2m\upsilon -f\upsilon ),\end{aligned}}$

on aura

${\frac {1}{2}}\left(s^{2}-{\frac {ds^{2}}{d\upsilon ^{2}}}\right)=-{\frac {\gamma k'}{2}}\left(1-{\frac {4m\mathrm {B} _{1}^{(0)^{2}}}{g-1}}\right)\cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta ).$