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MÉCANIQUE CÉLESTE.

On a, par le n^o 14 du Livre VII, aux quantités près de l’ordre $m^{2},$

$\mathrm {B} _{1}^{(0)}={\frac {3m}{8}},\qquad g-1={\frac {3}{4}}m^{2}\,;$

on aura donc

${\frac {1}{2}}\delta \left(s^{2}-{\frac {ds^{2}}{d\upsilon ^{2}}}\right)=-{\frac {1}{2}}\gamma k'\left(1-{\frac {3m}{4}}\right)\cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta ),$

d’où l’on tire

$d\delta \upsilon ={\frac {19}{2}}\gamma k'\left(1+{\frac {3m}{76}}\right)d\upsilon \cos(g\upsilon -f\upsilon -\theta ).$

En considérant $m,e$ et $\gamma$ comme des quantités du premier ordre, on voit que ces expressions de $\delta s$ et de $d\delta \upsilon$ sont approchées aux quantités près de l’ordre $m^{2}.$ Si l’on rapproche la valeur de $\delta s$ de celle qui résulte du second Chapitre du Livre VII, on a

$k'=-\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)\mathrm {D} ^{2}\sin \lambda \cos \lambda ,$

$\alpha \rho$ étant l’ellipticité de la Terre, et $\alpha \varphi$ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur.