Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/460

446

MÉCANIQUE CÉLESTE.

les forces dont la Lune est animée dans son mouvement relatif autour de la Terre sont

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\quad {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\quad {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},$

en sorte que les trois équations différentielles de ce mouvement sont

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\qquad 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\qquad 0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},$

$dt$ étant l’élément du temps, supposé constant.

Si l’on suppose que le Soleil attire différemment la Lune et la Terre, alors il faudra donner à $m',$ dans le dernier terme de l’expression de $\mathrm {V}$, une valeur différente de celle du second terme ; en représentant donc par $\delta m'$ cette différence, il faudra ajouter à la fonction $\mathrm {V}$ le terme

$-{\frac {\delta m'(xx'+yy')}{r'^{3}}}.$

Examinons l’influence de ce terme sur le mouvement de la Lune. On a

$x={\frac {r\cos \upsilon }{\sqrt {1+s^{2}}}},\qquad y={\frac {r\sin \upsilon }{\sqrt {1+s^{2}}}},\qquad z={\frac {rs}{\sqrt {1+s^{2}}}}.$

La fonction $\mathrm {V}$ devient ainsi, en la réduisant en série par rapport aux puissances descendantes de $r',$

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&{\frac {\mathrm {T+L} }{r}}+{\frac {m'}{r'}}\left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {1}{2}}{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}+{\frac {3}{2}}{\frac {r^{2}\cos ^{2}(\upsilon -\upsilon ')}{r'^{2}\left(1+s^{2}\right)}}\\&-{\frac {3}{2}}{\frac {r^{3}\cos(\upsilon -\upsilon ')}{r'^{3}\left(1+s^{2}\right)}}+{\frac {5}{2}}{\frac {r^{3}\cos ^{3}(\upsilon -\upsilon ')}{r'^{3}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}\\&-{\frac {\delta m'.r\cos(\upsilon -\upsilon ')}{r'^{2}{\sqrt {1+s'^{2}}}}}.\end{aligned}}$

Le terme multiplié par $\cos(\upsilon -\upsilon ')$ de cette série produit dans le mouvement lunaire l’inégalité que l’on nomme inégalité parallactique. Il résulte des diverses théories de la Lune, et spécialement de celle que j’ai donnée dans le Livre VII, que le coefficient de cette inégalité est, à fort peu près, proportionnel au coefficient de $\cos(\upsilon -\upsilon ')$