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contact et que leur expression près de ce point a pour facteur le carré de leur distance à ce point. L’équation (a) subsiste donc pour ce point. Relativement à la sphère tangente, on a

$r{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}=-{\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{2}}{r}}\,;$

en supposant donc que $\mathrm {V} '$ exprime la somme de toutes les molécules du sphéroïde divisées par leurs distances au point attiré, ce qui donne $\mathrm {V'=V+V''} ,$ on aura, en supposant le point attiré au point de contact de la sphère et du sphéroïde,

(b)$\qquad \qquad \qquad \qquad a{\frac {\partial V'}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} '=-{\frac {2}{3}}\pi a^{2}\,;$

c’est l’équation que j’ai donnée dans le n^o 10 du Livre III. Ici l’origine de $r$ est au centre de la sphère tangente. Fixons cette origine à un point quelconque très-proche du centre de gravité du sphéroïde, et désignons par $a(1+\alpha y)$ le rayon de ce sphéroïde, $\alpha$ étant un très-petit coefficient constant. L’attraction de ce sphéroïde dirigée vers l’origine de $r$ est $-{\frac {\partial V'}{\partial r}},$ et il est facile de voir qu’elle est, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$ la même quelle que soit cette origine, pourvu que cette origine ne s’écarte que d’une quantité de l’ordre a du centre de gravité du sphéroïde ; car cette attraction, composée avec une force qui lui est perpendiculaire et de l’ordre $\alpha ,$ produit la pesanteur totale, dont elle ne diffère, par conséquent, que d’une quantité de l’ordre $\alpha ^{2}.$ Ainsi l’équation précédente (b) subsiste en fixant l’origine de $r$ à un point quelconque situé fort près du centre de gravité du sphéroïde.

Telle est la démonstration que j’ai donnée de cette équation dans l’endroit cité de la Mécanique céleste. Quelques géomètres, ne l’ayant pas bien saisie, l’ont jugée inexacte. Lagrange, dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, a démontré cette équation par une analyse à peu près semblable à celle qui me l’avait fait découvrir [Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1775, p. 83). C’est pour sim-