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plifier cette matière que j’ai préféré de donner dans la Mécanique céleste la démonstration précédente.

Si le point attiré est élevé d’une quantité $\alpha ay'$ au-dessus de la surface du sphéroïde, $\mathrm {V} '$ étant de la forme ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}+\alpha \mathrm {R} ,$ il ne variera, par ce déplacement du point et en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ que de la quantité $-{\frac {4}{3}}\pi a^{2}\alpha y'.$ La différence partielle $a{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial r}}$ variera de la quantité $-{\frac {8}{3}}\pi a^{2}\alpha y'\,;$ la variation du premier membre de l’équation (b) sera donc $2\pi a^{2}\alpha y',$ et cette équation deviendra

$a{\frac {\partial V'}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} '=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2a^{2}\pi \alpha y'.$

Mais l’équation (a) subsistera toujours, parce que, $V''$ étant de l’ordre $\alpha ,$ ce déplacement ne peut y produire que des quantités de l’ordre $\alpha ^{2}.$

Cela posé, si l’on substitue, dans les équations (2) et (3), $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y'$ au lieu de $r,$ et si dans l’équation (3) on substitue $-{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ''$ au lieu de ${\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial r}},$ elles deviendront, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

$(4)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .=\alpha {\overline {y}}+\alpha y'&-{\frac {3\alpha }{\int \rho d.a^{3}}}\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\\\&-{\frac {3\alpha }{\int \rho d.a^{3}}}\left(\mathrm {Y} ^{'(0)}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(3)}}{7}}+\ldots \right)\\\\&-{\frac {\mathrm {V} ''}{{\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3}}}+{\frac {\alpha \varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\end{aligned}}\right.$

$(5)\left\{{\begin{aligned}p=&{\frac {4}{3}}\pi \left(1-2\alpha {\overline {y}}-2\alpha y'\right)\int \rho d.a^{3}\\\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {2a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\frac {3a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {4a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\\\&+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ''+\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3}\\\\&+4\alpha \pi \left(\mathrm {Y} ^{'(0)}+{\frac {2\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3}}+{\frac {3\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5}}+\ldots \right).\end{aligned}}\right.$

Si l’on ajoute cette dernière équation à la précédente multipliée par