Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/50

${\frac {2}{3}}\pi \int \rho d.a^{3},$ on aura

$(6)\left\{{\begin{aligned}p=&\mathrm {const} .-2\alpha \pi \left({\overline {y}}+y'\right)\int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}+a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right)\\&+2\alpha \pi y'+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on suppose la Terre homogène ou $\rho$ constant, on aura

$p=\mathrm {const} .-2\alpha \pi (\rho -1)y'+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {4}{3}}\pi \rho ,$

et l’on doit observer que ${\frac {4}{3}}\pi \rho$ est à très-peu près la pesanteur à l’équateur. On a donc, dans le cas où la mer à la même densité que le sphéroïde terrestre, ce qui donne $\rho =1,$

$p=\mathrm {P} \left(1+{\frac {5}{4}}\alpha \varphi \mu ^{2}\right),$

$P$ étant la pesanteur à l’équateur.

Cette valeur de $p$ subsisterait encore dans le cas où des plateaux d’une densité quelconque et de hautes montagnes recouvriraient les continents. Ces corps ajouteraient à l’équation (1) un terme $\mathrm {V} ''',$ qui serait la somme de leurs molécules divisée par leurs distances respectives au point attiré. En supposant ce point à la surface de la mer, on aura

${\frac {\partial V'''}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} '''=0.$

Ainsi $\mathrm {Y} '''$ disparaîtrait de l’expression de la pesanteur $p$ par le même procédé qui a fait disparaître $\mathrm {V} ''$ de cette expression ; $p$ aurait donc encore la valeur précédente ; le terme $\mathrm {V} '''$ changerait donc la figure de la mer sans altérer la loi de la pesanteur. Il est bien remarquable que cette loi soit indépendante de cette figure, qui peut avoir une infinité de formes, dépendantes de la manière dont la mer recouvre en partie le sphéroïde terrestre et des irrégularités de la surface des continents.

3. Pour déterminer la figure de la mer lorsque celle du sphéroïde terrestre est donnée, la méthode la plus simple consiste à ordonner les