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approximations suivant les puissances du rapport de la densité de la mer à la moyenne densité de la Terre, rapport égal à ${\frac {2}{11}}$ à fort peu près. Nous allons donc considérer d’abord la figure de la mer en négligeant ce rapport ou en supposant que la mer est un fluide infiniment rare. Cela revient à négliger dans l’équation (4) les termes qui ont $\int \rho d.a^{3}$ au dénominateur et qui n’ont pas $\rho$ au numérateur. Cette équation donne alors, en n’y négligeant, pour plus d’exactitude, que le terme dépendant de $\mathrm {V} '',$

${\begin{array}{lll}\alpha y'=&\mathrm {const} .-\alpha {\overline {y}}+{\cfrac {3\alpha }{\int \rho d.a^{3}}}\int \rho d\left({\cfrac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\cfrac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\cfrac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\&+{\cfrac {3\alpha }{\int \rho d.a^{3}}}\left({\cfrac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3}}+{\cfrac {\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5}}+{\cfrac {\mathrm {Y} ^{'(3)}}{7}}+\ldots \right)-{\cfrac {\alpha \varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{array}}$

En substituant $\mathrm {{\overline {Y}}^{(1)}+{\overline {Y}}^{(2)}} +\ldots$ pour ${\overline {y}}$ et $\mathrm {Y^{'(0)}+Y^{'(1)}+Y^{'(2)}} +\ldots$ pour $y',$ et comparant les termes semblables, on aura généralement

$\mathrm {Y} ^{'(i)}\left[1-{\frac {3}{(2i+1)\int \rho d.a^{3}}}\right]=-\mathrm {\overline {Y}} ^{(i)}+{\frac {3\int \rho d.\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)}{(2i+1)\int \rho d.a^{3}}}.$

Dans le cas de $i=2,$ il faut ajouter au second membre de cette équation le terme $-{\frac {\varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

L’équation (6), dans laquelle rien n’est négligé, donnera ensuite la pesanteur $p$ à la surface de la mer.

Les expériences du pendule font voir que $\mathrm {{\overline {Y}}^{(1)}+{\overline {Y}}^{(3)}+{\overline {Y}}^{(4)}} +\ldots$ sont des quantités très-petites relativement à $\mathrm {\overline {Y}} ^{(2)}$ et que cette dernière fonction se réduit à fort peu près à $-{\overline {h}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\ {\overline {h}}$ étant une constante, ce qui donne aux couches du sphéroïde terrestre la figure d’un ellipsoïde de révolution. Examinons donc ce cas particulièrement. On a alors, par ce qui précède, en faisant $\mathrm {Y} ^{(2)}$ égal à $-{\overline {h}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

$\mathrm {Y} ^{'(2)}\left(1-{\frac {3}{5\int \rho d.a^{3}}}\right)=\left[{\overline {h}}-{\frac {3\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{5\int \rho d.a^{3}}}-{\frac {\varphi }{2}}\right]\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$