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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

le facteur précédent devient ainsi

${\frac {1}{{\cfrac {4k''}{k}}\left(1+2{,}324\sin ^{2}2iq\right)}}.$

En réunissant toutes les valeurs de $x$ multipliées par ce facteur, on aura

${\frac {x}{1+2{,}324\sin ^{2}q}}={\frac {\cos 2iq{\cfrac {\mathrm {SE} _{i}^{(s)}}{n}}-\sin 2iq{\cfrac {\mathrm {SF} _{i}^{(s)}}{n}}}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}},$

$\mathrm {E} _{i}^{(s)}$ et $\mathrm {F} _{i}^{(s)}$ étant les valeurs de $\mathrm {E} _{i}$, et de $\mathrm {F} _{i}$ relatives à la $s$^ième syzygie et à la $s$^ième quadrature à laquelle on la compare. Le signe $\mathrm {S}$ indiquant la somme des quantités qu’il précède, pour toutes les syzygies dont le nombre est $n,\ {\frac {\mathrm {SE} _{i}^{(s)}}{n}}$ et ${\frac {\mathrm {SF} _{i}^{(s)}}{n}}$ seront donc les moyennes des valeurs de $\mathrm {E} _{i}^{(s)}$ et $\mathrm {F} _{i}^{(s)},$ moyennes que l’on obtiendra en substituant dans les expressions de $\mathrm {E} _{i}$, et de $\mathrm {F} _{i},$ au lieu de $A_{i},A'_{i},A''_{i},B_{i},\ldots ,$ leurs valeurs moyennes. L’équation précédente deviendra ainsi

${\frac {x}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}={\frac {\mathrm {E} _{i}\cos 2iq-\mathrm {F} _{i}\sin 2iq}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}\,;$

cette équation produit autant d’équations que $i$ a de valeurs. Si l’on réunit ces équations, on aura

$x\sum {\frac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}=\sum {\frac {\mathrm {E} _{i}\cos 2iq-\mathrm {F} _{i}\sin 2iq}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}},$

le signe $\sum$ exprimant la somme des valeurs du terme qu’il précède. On aura ainsi, pour la valeur de $x$ la plus avantageuse,

$x={\frac {\sum {\cfrac {\mathrm {E} _{i}\cos 2iq-\mathrm {F} _{i}\sin 2iq}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}}{\sum {\cfrac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}}}.$

Les équations (O) donnent

$y=\mathrm {F} _{i}\cos 2iq+\mathrm {E} _{i}\sin 2iq\,;$

on aura donc la valeur de $y$ la plus avantageuse en changeant, dans l’expression précédente de $x,\ \cos 2iq$ dans $\sin 2iq$ et $\sin 2iq$ dans