Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/52

Ainsi, en faisant

$h'={\frac {{\cfrac {\varphi }{2}}-{\overline {h}}+{\cfrac {\cfrac {3\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{5\int \rho d.a^{3}}}{5\int \rho d.a^{3}}}}{1-{\cfrac {3}{5\int \rho d.a^{3}}}}},$

on aura

$\alpha y'=\alpha l-\alpha h'\mu ^{2},$

$l$ étant une constante. Il est facile de voir que $h'$ serait nul si, la mer étant anéantie, la surface du sphéroïde était en équilibre, en devenant fluide. Si donc cette surface est moins aplatie que dans ce cas, $h'$ sera positif et la mer recouvrira l’équateur du sphéroïde. Sa profondeur sera $\alpha l-\alpha h'\mu ^{2},$ et, si elle n’a pas un volume suffisant pour recouvrir le sphéroïde entier, elle s’étendra vers les deux pôles à des latitudes égales. Soits le sinus de ces latitudes ; la profondeur de la mer étant nulle à ces points, on aura

$\alpha l=\alpha h'\varepsilon ^{2},$

et, l’origine des rayons terrestres étant supposée au centre de gravité du sphéroïde terrestre, ce qui rend $\mathrm {\overline {Y}} ^{(1)}$ et $\mathrm {Y} ^{'(1)}$ nuls, la profondeur de la mer sera

$\alpha h'\left(\varepsilon ^{2}-\mu ^{2}\right).$

Le volume de la mer sera ${\frac {8}{3}}\alpha \pi h'\varepsilon ^{2}\,;$ ce volume, étant donné, fera donc connaître $\varepsilon .$ L’équation (6), combinée avec l’expression précédente de $h'$ donnera, pour l’expression de la pesanteur à la surface de la mer,

$\mathrm {P} \left\{1+\left[{\frac {5}{4}}\alpha \varphi -\alpha \left({\overline {h}}+h'\right)\right]\right\},$

$\mathrm {P}$ étant cette pesanteur à l’équateur.

Si la surface du sphéroïde a un aplatissement plus grand que celui qui convient à son équilibre en la supposant fluide, $h'$ devient négatif, et alors, si la mer n’a pas un volume suffisant pour recouvrir le sphéroïde entier, elle se portera vers les deux pôles et elle formera deux mers distinctes, dont les masses pourront être dans un rapport quel-