Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/53

conque. En faisant $h'=-g,\ g$ étant positif, la profondeur de la mer boréale sera

$\alpha g\left(\mu ^{2}-\varepsilon ^{2}\right),$

$\varepsilon$ étant le sinus de la latitude des bords de cette mer. La profondeur de la mer située vers le pôle austral sera

$\alpha g\left(\mu ^{2}-\varepsilon '^{2}\right),$

$\varepsilon '$ étant ce que devient pour cette mer la quantité $\varepsilon .$ Les masses des deux mers seront respectivement

${\frac {2\alpha \pi g}{3}}(1-\varepsilon )^{2}(1+2\varepsilon ),\qquad {\frac {2\alpha \pi g}{3}}(1-\varepsilon ')^{2}(1+2\varepsilon '),$

et la pesanteur à leur surface sera, en désignant par $\mathrm {P}$ la pesanteur aux pôles,

$\mathrm {P} \left\{1-\left[{\frac {5}{4}}\alpha \varphi -\alpha \left({\overline {h}}-g\right)\right]\left(1-\mu ^{2}\right)\right\}.$

Pour avoir une seconde approximation, il faut déterminer la valeur analytique de la fonction ${\frac {\mathrm {V} ''}{{\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3}}}$ de l’équation (4) et l’ajouter à l’expression de $\alpha y'.$ Or, on a

$\mathrm {V} ''=\alpha \int {\frac {y_{1}d\mu 'd\omega '}{\sqrt {2(1-\cos \gamma )}}},$

$y_{1}$ étant ce que devient l’expression trouvée par une première approximation pour $y'$ et dans laquelle on change $\mu$ en $\mu ',\ \omega$ en $\omega ',\ \mu '$ et $\omega '$ étant relatifs au point attirant, tandis que $\mu$ et $\omega$ se rapportent au point attiré ; $\gamma$ est l’angle compris entre les rayons terrestres menés à ces deux points, en sorte que l’on a

$\cos \gamma =\mu \mu '+{\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\sqrt {1-\mu '^{2}}}\cos(\omega '-\omega ).$

L’intégrale précédente est relative à la surface entière des continents et des îles. Développons le radical

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\cos \gamma +1}}}$