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$\mathrm {Q} ^{(i)}$ étant égal à

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\left[\mu ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-2}+\ldots \right],$

et $\mathrm {Q} ^{'(i)}$ étant ce que devient $\mathrm {Q} ^{(i)}$ lorsqu’on y change $\mu$ en $\mu '\,;\ i$ doit être étendu depuis zéro jusqu’à l’infini. Si l’on nomme $\theta$ l’angle dont $\mu$ est le cosinus et $\theta '$ l’angle dont $\mu '$ est le cosinus, on aura, lorsque $i$ est un grand nombre,

$\mathrm {Q} ^{'(i)}={\frac {\cos \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\theta '-{\frac {1}{4}}\pi \right]}{\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi \left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}}.$

L’intégrale

$2\pi \mathrm {Q} ^{(i)}\alpha \int \mathrm {Q} ^{'(i)}y_{1}d\mu '$

deviendra, à fort peu près.

${\frac {8\alpha }{i(2i+1)}}{\frac {\cos \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {1}{4}}\pi \right]}{\sqrt {\sin \theta }}}\left\{{\begin{aligned}&y_{1}{\sqrt {\sin \theta '}}\sin \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\theta '-{\frac {1}{4}}\pi \right]\\-&y'_{1}{\sqrt {\sin \theta }}\sin \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {1}{4}}\pi \right]\end{aligned}}\right\}.$

On voit par là combien la valeur précédente de $\mathrm {V} ''$ est convergente.

4. Considérons maintenant les variations des degrés et de la pesanteur à la surface des continents et des îles ou, ce qui revient au même, à la surface du sphéroïde terrestre. Ces variations sont les seules que nous puissions observer. Pour avoir leur expression analytique, imaginons une atmosphère infiniment rare, d’une densité constante, très-peu élevée, mais qui, cependant, embrasse toute la Terre et ses montagnes ; soit $\alpha y''$ l’élévation de ses points au-dessus de la surface du sphéroïde terrestre. L’équation (1) du n^o 2, qui détermine la figure de la mer, déterminera la partie de la figure de l’atmosphère qui s’élève au-dessus de la mer ; car il est clair que la valeur de $\mathrm {V} '$ dans cette équation, étant de l’ordre $\alpha ,$ est, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$ la même aux deux surfaces. Mais, à la surface de la mer, $r$ doit être changé dans $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y',$ tandis que, relativement à la surface de