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$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire, et en observant que

${\frac {d^{2}\rho '}{da^{2}}}=-n^{2}\rho '.$

Cette expression donne, pour l’ellipticité $h.$

$h=-\mathrm {H} \left({\frac {3}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}\operatorname {tang} an}{an-\operatorname {tang} an}}\right),$

ellipticité qui, multipliée par $a,$ devient nulle au centre du sphéroïde, où $a$ est nul. On voit, par le n^o 30 du Livre III, que cette valeur de $h$ est la seule admissible dans la question présente. Par le même numéro, l’ellipticité de la Terre est à la surface, où $a=1,$

${\frac {\alpha \varphi h\int \rho 'ada}{2h\int \rho 'ada-{\frac {2}{5}}h(\rho )+{\frac {2}{5}}\int a^{5}hd\rho }},$

les intégrales étant prises depuis $a$ nul jusqu’à $a=1\,;\ \alpha \varphi$ est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur. En substituant au lieu de ${\frac {d\rho }{da}}$ sa valeur $-{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\int \rho 'ada$ et au lieu de $hs\int \rho 'ada$ sa valeur précédente on aura

$\int a^{5}hd\rho =-n^{2}\mathrm {H} \int a^{3}da\left(\rho '-{\frac {3\rho '}{n^{2}a^{2}}}+{\frac {3d\rho '}{n^{2}ada}}\right),$

$\rho '$ étant $\mathrm {A} \sin an.$ On trouvera ainsi à la surface de la Terre, où $a=1,$ l’ellipticité $h$ du sphéroïde égale à

${\frac {{\frac {5}{2}}\alpha \varphi \left(1-{\cfrac {3q}{n^{2}}}\right)}{3-q-{\cfrac {n^{2}}{q}}}}.$

Je dois observer ici que M. Legendre a déterminé l’aplatissement de la Terre dans le cas où la densité des couches est exprimée par ${\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an$ (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1789). En réunis-