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termes depuis $s$ nul jusqu’à l’infini,

$q'={\frac {\mathrm {A} }{\sqrt {nk}}}\sum \left[{\frac {\mathrm {F} ^{(s)}}{z^{2s}}}\sin(z+\theta )+{\frac {\mathrm {F} ^{'(s)}}{z^{2s+1}}}\sin(z+\theta )\right],$

$\mathrm {A}$ et $\theta$ étant deux constantes arbitraires. En substituant cette valeur dans l’équation différentielle précédente, et comparant séparément les termes multipliés par ${\frac {\sin(z+\theta )}{z^{2s}}}$ et ceux qui sont multipliés par ${\frac {\cos(z+\theta )}{z^{2s+1}}},$ on formera les deux équations

${\begin{aligned}2(2s-1)\mathrm {F} ^{'(s-1)}=&(i-2s+2)(i+2s-1)\mathrm {F} ^{(s-1)},\\4s\mathrm {F} ^{(s)}=&-(i-2s+1)(i+2s)\mathrm {F} ^{'(s-1)},\end{aligned}}$

ce qui donne

$F^{(s)}=-{\frac {(i-2s+1)(i-2s+2)(i+2s-1)(i+2s)}{4.2s(2s-1)}}\mathrm {F} ^{(s-1)},$

d’où l’on tire, en intégrant et faisant, comme on le peut, $\mathrm {F} ^{(0)}=1,$

$F^{(s)}=\pm {\frac {(i-2s+1)(i-2s+2)\ldots (i+2s)}{2^{2s}.1.2.3\ldots 2s}}\,;$

le signe $+$ a lieu si $s$ est pair, et le signe $-$ s’il est impair. L’expression précédente de $\mathrm {F} ^{'(s-1)}$ donne

$\mathrm {F} ^{'(s)}={\frac {(i-2s)(i+2s+1)}{2(2s+1)}}\mathrm {F} ^{(s)}.$

On aura ainsi

$q^{(i)}=\mathrm {A} \sum \left[{\frac {\mathrm {F} ^{(s)}}{z^{2s+1}}}\sin(z+\theta )+{\frac {\mathrm {F} ^{'(s)}}{z^{2s+2}}}\cos(z+\theta )\right].$

$i$ étant ici un nombre entier positif, cette valeur de $q^{(i)}$ n’est composée que d’un nombre fini de termes. Pour en exclure, comme on doit le faire, ceux qui deviennent infinis lorsque $r$ est nul, $q^{(i)}$ étant toujours fini, même au centre, il faut faire $\theta$ nul si $i$ est pair, et $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ si $i$ est impair, $\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.

L’équation (2) donne à la surface, où nous supposerons que $r$ devient $a,$

${\frac {dq^{(i)}}{dr}}=fq^{(i)}.$