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En désignant $a{\sqrt {nk}}$ par $\varepsilon ,$ et nommant $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ les coefficients de $\mathrm {A} \sin z$ et de $A\cos z,$ dans lesquels on change $z$ en $\varepsilon ,$ on aura

(4)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\sin z\left(f\mathrm {Z} +{\frac {\varepsilon }{a}}{\frac {\partial Z}{\partial \varepsilon }}-{\frac {\varepsilon }{a}}\mathrm {Z} '\right)\\+&\cos \varepsilon \left(f\mathrm {Z} '+{\frac {\varepsilon }{a}}{\frac {\partial Z'}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\varepsilon }{a}}\mathrm {Z} \right).\end{aligned}}\right.$

Cette équation est transcendante ; elle donne pour $\varepsilon$, et par conséquent pour $n,$ une infinité de valeurs auxquelles correspondent autant de fonctions de la forme $\mathrm {Y} ^{(i)},$ et qui sont déterminées par l’état initial de la chaleur du globe.

L’équation précédente a pour une de ses racines $\varepsilon =0,$ et la valeur correspondante de $q^{(i)}$ est $\beta r^{i},\ \beta$ étant une constante arbitraire.

Si l’on développe la partie de la fonction $l$ de l’équation (2) qui est indépendante du temps, dans une suite de la forme

$\mathrm {Y^{'(0)}+Y^{'(1)}+Y^{'(2)}} +\ldots ,$

$\mathrm {Y} ^{'(i)}$ étant assujetti à la même équation aux différences partielles que $\mathrm {Y} ^{(i)},$ l’équation (2) donnera, en comparant les fonctions semblables.

$-i\beta a^{i-1}\mathrm {Y} ^{(i)}=f\beta a^{i}\mathrm {Y} ^{(i)}-f\mathrm {Y} ^{'(i)},$

ce qui donne

$\mathrm {Y} ^{(i)}=\mathrm {Y} ^{'(i)},$

$\beta ={\frac {1}{a^{i}\left(1+{\cfrac {1}{af}}\right)}}\,;$

ainsi la partie de la chaleur $\mathrm {V}$ d’un point du globe indépendante du temps et qui finit par être sa température finale est

$\mathrm {Y} ^{'(0)}+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{af}}}}{\frac {r}{a}}\mathrm {Y} ^{'(1)}+{\frac {1}{1+{\cfrac {2}{af}}}}{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\mathrm {Y} ^{'(2)}+\ldots .$

On peut observer ici que cette partie de $\mathrm {V}$ varie très-lentement pour la Terre, près de la surface, à cause de la grandeur du rayon $a.$ Sa