Dans le mouvement d’un point sollicité par des forces quelconques, la variation de la force vive est égale à deux fois la somme des produits de la masse du point, par chacune des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le point s’avance vers leurs origines. Dans le mouvement d'un systême quelconque, le double de la somme de tous ces produits, est la variation de la force vive du systême. Concevons que dans le mouvement du systême, tous les corps soient au même instant dans la position où il seroit en équilibre en vertu des forces accélératrices qui l’animent ; la variation de la force vive y sera nulle, par le principe des vîtesses virtuelles
- la
force vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum
. Si le systême n’étoit mu que par une seule de ses oscillations simples
les corps en partant de la situation d’équilibre, tendroient à y revenir si l’équilibre est stable ; leur vîtesse diminueroit donc à mesure qu’ils s’en éloigneroient, et par conséquent la force vive seroit dans cette position, un maximum
- mais elle seroit un
minimum , si l’équilibre n’étant pas stable, les corps en s’éloignant de la position qui est relative à cet état, tendoient à s’en écarter davantage. De-là on peut conclure que si la force vive est constamment un maximum lorsque les corps parviennent au même instant à la position de l’équilibre, quelle que soit d'ailleurs leur vîtesse, l’équilibre est stable ; et qu’au contraire, il n’a ni stabilité absolue, ni stabilité relative, si la force vive dans cette position du systême, est constamment un minimum . Enfin, on a vu dans le second chapitre, que la somme des intégrales du produit de chaque force finie du systême, par l’élément de sa direction, somme qui dans l’état d’équilibre, est nulle, est un minimum dans l’état de mouvement. C’est en cela que consiste le principe de la moindre action, principe qui diffère de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation des aires et des forces vives, en ce que ces principes sont de véritables intégrales des équations différentielles du mouvement des corps ; au lieu que celui de la moindre action, n’est qu’une combinaison singulière de ces mêmes équations. On doit faire une remarque importante sur l’étendue de ces divers principes :
