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équation (1), qui se confond avec elle, quand les mobiles sont libres, mais qui en diffère essentiellement, lorsqu’il s’agit d’un systême de points liés entre eux d’une manière quelconque. Pour former cette autre équation, représentons par $\varphi ,\psi ,\theta ,$ etc., les variables indépendantes entre elles et réduites au plus petit nombre possible, qui déterminent la position des mobiles dans l’espace ; conservons à la quantité $\mathrm {V} ,$ sa signification précédente ; soit $\mathrm {T} ,$ la demi-somme des forces vives de tous les points du systême ; et faisons enfin

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\varphi }{dt}}=&\varphi ',\qquad &{\frac {d\mu }{dt}}=&\psi ',\qquad &{\frac {d\theta }{dt}}=&\theta ',{\text{etc}}.,\\{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi '}}=&u,\qquad &{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi '}}=&v,&{\frac {d\mathrm {T} }{d\theta '}}=&s,{\text{etc}}.,\\\end{alignedat}}$

les équations du mouvement seront en même nombre que les variables $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., et de la forme :

${\begin{alignedat}{2}{\frac {du}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}&&=0,\\{\frac {dv}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}&&=0,\\{\frac {ds}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\theta }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\theta }}&&=0,\end{alignedat}}$

Or on en déduit, par une analyse semblable à celle du n^o 1, la formule de la mécanique analytique, savoir :

$\Delta \,\varphi \,\delta \,u-\delta \,\varphi \,\Delta \,u+\Delta \,\psi \,\delta \,v-\delta \,\psi \,\Delta \,v+\Delta \,\theta \,\delta \,s-\delta \,\theta \,\Delta \,s+\mathrm {etc} .$

$={\text{const}}.\qquad$(3)

Elle se décomposera comme la formule (1), en équations