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${\begin{alignedat}{4}\delta \;\;x\;=&{\frac {dx}{da}}da&&+{\frac {dx}{db}}db&&+{\frac {dx}{dc}}dc&&+{\text{etc}}.,\\\delta \;\;x'=&{\frac {dx'}{da}}da&&+{\frac {dx'}{db}}db&&+{\frac {dx'}{dc}}dc&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x\;=&{\frac {dx}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x'=&{\frac {dx'}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx'}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx'}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}$

et de même pour toutes les autres coordonnées. Je substitue ces valeurs dans le second membre de l’équation (6) ; j’ordonne tous les termes par rapport aux variations $\Delta \,a,\,\Delta \,b,\,\Delta \,c,$ etc.; et en faisant usage de la notation du n^o 2, je trouve

$\nabla \,dt=\left[(a,b)db+(a,c)dc+{\text{etc}}.\right]\Delta \,a+\left[(b,a)da+(b,c)dc+{\text{etc}}.\right]\Delta \,b+$

$\left[(c,a)da+(c,b)db+{\text{etc}}.\right]\Delta \,c+{\text{etc}}.,$

Substituons de même les valeurs de $\Delta \,x,\,\Delta \,y,\,\Delta \,z,$ dans la première expression de $\nabla$ du numéro précédent ; ordonnons aussi par rapport à $\Delta \,a,\,\Delta \,b,\,\Delta \,c,$ etc.; et désignons par $(a),\,(b),\,(c),$ etc., les coëfficients de ces variations : nous aurons en second lieu

$\nabla =(a)\Delta \,a+(b)\Delta \,b+(c)\Delta \,c+$etc.;

en supposant

$(a)=\sum \left((x){\frac {dx}{da}}+(y){\frac {dy}{da}}+(z){\frac {dz}{da}}\right),$

et de même pour les autres quantités $(b),\,(c),$ etc. Or ces deux expressions de $\nabla$ doivent être identiques par rapport