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S. III.

Expressions relatives à des constantes particulières.

(13) Représentons par

$a=\mathrm {P} ,$

une intégrale première des équations du mouvement du n^o 1, résolue par rapport à la constante arbitraire $a,$ et telle que $\mathrm {P}$ soit une fonction donnée du temps $t,$ des coordonnées orthogonales des mobiles, et de leurs différentielles premières. En différenciant cette équation, désignant par $x',y',z',$ les quantités ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et substituant pour ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ leurs valeurs tirées des équations $(m)$ du n^o 1, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&+\sum \left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}x'+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}z'\right)-\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)\\&+\lambda \sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)\\&+\mu \sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)+{\text{etc}}.=0,\end{aligned}}$

où la caractéristique $\sum$ indique toujours une somme relative à tous les points du système. Or, si l’intégrale $a=\mathrm {P} ,$ est fournie par l’un des principes généraux de la conservation des forces vives, des aires, ou du mouvement du centre de gravité, il est facile de vérifier que, dans l’équation qui s’en déduit, chacun des termes multipliés par $\lambda ,\,\mu ,$ etc., sera séparément nul ; ce qui est d’ailleurs évident, à priori, par la considération qu’une semblable intégrale satisferait encore aux équations du mouvement, lors même que les points du