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systême deviendraient libres, ou qu’une partie seulement des équations de condition $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M} =0,$ etc., cesserait d’avoir lieu. Ainsi l’équation précédente se décomposera en ces équations :

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+&\sum \left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}x'+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}z'\right)-\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)=0,\\&\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)=0,\\&\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)=0,\\&{\text{ etc}}.\end{aligned}}$

Maintenant pour étendre l’intégrale $a=\mathrm {P} ,$ aux équations du mouvement du n^o 5, considérons $a$ comme variable, et différencions, dans cette hypothèse, cette équation $a=\mathrm {P} \,:$ en substituant à la place de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ leurs valeurs tirées des équations (m’) de ce numéro, on verra que tous les termes se détruisent en vertu des équations précédentes, excepté ceux qui sont multipliés par les nouvelles forces $(x),(y),(z)\,;$ de sorte que si l’on conserve $a,$ à la place de sa valeur $\mathrm {P} ,$ on aura simplement

$da=\sum {\frac {1}{m}}\left[{\frac {da}{dx'}}(x)+{\frac {da}{dy'}}(y)+{\frac {da}{dz'}}(z)\right]dt.\qquad$(8)

Il ne s’agira donc plus que de mettre cette valeur de $da$ sous la même forme que dans le n^o 11, c’est-à-dire de l’exprimer au moyen des quantités que nous avons désignées par $(a),(b),(c),$ etc., et dont le type général est (n^o 7)

$(c)=\sum \left[{\frac {dx}{dc}}(x)+{\frac {dy}{dc}}(y)+{\frac {dz}{dc}}(z)\right].\qquad$(9).