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C’est ce que nous allons faire successivement pour chacune des intégrales premières, résultantes des principes généraux de la mécanique.

(14) Considérons d’abord l’intégrale fournie par le principe des forces vives : en désignant par $h,$ la constante arbitraire qu’elle contient elle sera, comme on sait,

$h=\mathrm {V} +{\frac {1}{2}}\sum {\frac {1}{2}}\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}\right)\,;$

on en déduit

${\frac {dh}{dx'}}=mx',\qquad {\frac {dh}{dy'}}=my',\qquad {\frac {dh}{dz'}}=mz'\,;$

mettant donc $h$ à la place de $a$ dans l’équation (8), on aura

$dh=\sum \left[x'(x)+y'(y)+z'(z)\right]dt.$

Or le principe des forces vives suppose que la fonction $\mathrm {V}$ ne contient pas le temps explicitement ; les équations du mouvement du n^o 1, ne renferment donc que l’élément de cette variable ; par conséquent une des constantes arbitraires, contenues dans leurs intégrales, doit être ajoutée au temps ; de sorte qu’en supposant que c soit cette cette constante, les coordonnées des mobiles doivent être des fonctions de $t+c.$ Nous aurons donc

$x'={\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{dc}},\qquad y'={\frac {dy}{dc}},\qquad z'={\frac {dz}{dc}}\,;$

d’où il suit

$dh=\sum \left[{\frac {dx}{dc}}(x)+{\frac {dy}{dc}}(y)+{\frac {dz}{dc}}(z)\right]dt\,;$

et, à cause de l’équation (9),

$dh=(c)dt.$