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Cette valeur de $dh$ est, comme on voit, ramenée à la forme générale du n^o 11 ; et comme il arrive ici que $(c)$ est la seule des quantités $(a),(b),(c),$ etc., qu’elle renferme, il en faut conclure que tous les coëfficiens $[h,a],[h,b],$ etc., sont nuls, excepté $[h,c],$ qui sera égal à l’unité ; résultat qui nous sera utile dans la suite de ce Mémoire.

(15). Si l’on suppose que les forces comprises dans la fonction $\mathrm {V} ,$ proviennent uniquement de l’action mutuelle des points du systême, on aura, d’après le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité,

$\mathrm {M} g=\sum mx',\qquad \mathrm {M} g'=\sum my',\qquad \mathrm {M} g''=\sum mz'\,;$

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {M} f&&+\mathrm {M} gt&&=\sum mx,\\&\mathrm {M} f'&&+\mathrm {M} g't&&=\sum my,\\&\mathrm {M} f''&&+\mathrm {M} g''t&&=\sum mz\,;\end{alignedat}}$

$\mathrm {M}$ désignant la somme de toutes les masses, et $f,f',f'',$ $g,g',g'',$ des constantes arbitraires. De plus $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ étant des quantités indépendantes de ces six constantes, les coordonnées du point quelconque $m$ seront de la forme :

${\begin{alignedat}{3}x&=f&&+gt&&+\mathrm {X} ,\\y&=f'&&+g't&&+\mathrm {Y} ,\\z&=f''&&+g''t&&+\mathrm {Z} \,;\end{alignedat}}$

et de même pour les coordonnées des autres mobiles.

On tire de là

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {M} {\frac {dg}{dx'}}=&m,\qquad &{\frac {dg}{dy'}}=&0,\qquad &{\frac {dg}{dz'}}=&0\,;\\{\frac {dx}{df}}=&1,&{\frac {dy}{df}}=&0,&{\frac {dz}{df}}=&0\,;\end{alignedat}}$