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(16) Considérons enfin les intégrales résultantes du principe de la conservation des aires, lequel suppose d’abord que les mobiles ne sont sollicités que par leur action mutuelle et par une force dirigée constamment vers l’origine des coordonnées, et, de plus, que le système peut tourner librement autour de cette origine.

En vertu de ce principe, nous aurons

${\begin{aligned}l\;\;&=\sum m(xy'-yx'),\\l'\;&=\sum m(zx'-xz'),\\l''&=\sum m(yz'-zy')\,;\end{aligned}}$

$l,l',l'',$ étant des constantes arbitraires. On en déduit

${\begin{alignedat}{3}{\frac {dl}{dx'}}=&-my,\qquad &{\frac {dl}{dy'}}=&mx,\qquad &{\frac {dl}{dz'}}=&0\,;\\{\frac {dl'}{dx'}}=&mz,&{\frac {dl'}{dy'}}=&0,&{\frac {dl'}{dz'}}=&-mx\,;\\{\frac {dl''}{dx'}}=&0,&{\frac {dl''}{dy'}}=&-mz,&{\frac {dl''}{dz'}}=&my\,;\end{alignedat}}$

donc en mettant successivement $l,l',l'',$ à la place de $a$ dans l’équation (8), nous aurons

${\begin{alignedat}{2}&dl&&=\sum \left[x(y)-y(x)\right]dt,\\&dl'&&=\sum \left[z(x)-x(z)\right]dt,\\&dl''&&=\sum \left[y(z)-z(y)\right]dt\,;\end{alignedat}}$

mais pour ramener ces différentielles à la forme de celles du n^o 11, il est nécessaire de recourir aux formules connues de la transformation des coordonnées.

Soient donc $p,\,q,\,r,$ les nouvelles coordonnées orthogo-