Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/239

trois coordonnées de la planète troublée, que nous représenterons par $a,\,b,\,c,$ et celles de leurs différentielles premières, dívisées par $dt,$ que nous désignerons par $a',b',c.$ Dans cette hypothèse, nous aurons

${\begin{alignedat}{2}da=&-{\frac {d\Omega }{da'}}dt,\qquad &da'=&{\frac {d\Omega }{da}}dt\,;\\db=&-{\frac {d\Omega }{db'}}dt,&db'=&{\frac {d\Omega }{db}}dt\,;\\dc=&-{\frac {d\Omega }{dc'}}dt,&dc'=&{\frac {d\Omega }{dc}}dt.\end{alignedat}}$

Cela posé, les termes du premier ordre des valeurs de $\delta \,\rho ,\,\delta \,a,\,\delta \,a',\delta \,b,$ seront

$\delta \,\rho =\mathrm {H} _{0}\iint \Omega 'dt^{2},\qquad \delta \,a=-\int {\frac {d\Omega }{da'}}dt,\qquad \delta \,a'=\int {\frac {d\Omega }{da}}dt,{\text{ etc}}.;$

et pour les termes du second ordre, en observant que

$\mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+n\mathrm {H} _{1}\int \Omega 'dt+{\text{etc}}.,\qquad {\frac {d\Omega }{d\rho }}=\Omega ',$

et, faisant de même

${\frac {d\Omega '}{d\rho }}=\Omega '',\qquad {\frac {d\Omega ''}{d\rho }}=\Omega ''',$

on trouvera facilement

${\begin{aligned}\delta \rho &=n\mathrm {H} _{1}\iint \left(\Omega 'dt^{2}\int \Omega 'dt\right)+\mathrm {H} _{0}^{2}\iint \left(\Omega ''dt^{2}\iint \Omega 'dt^{2}\right)\\&+\mathrm {H} _{0}\iint \left[{\frac {d\Omega '}{da'}}\int {\frac {d\Omega }{da}}dt-{\frac {d\Omega '}{da}}\int {\frac {d\Omega }{da'}}dt+{\frac {d\Omega '}{db'}}\int {\frac {d\Omega }{db}}dt\right.\\&\quad \qquad \qquad \left.-{\frac {d\Omega '}{db}}\int {\frac {d\Omega }{db'}}dt+{\frac {d\Omega '}{dc'}}\int {\frac {d\Omega }{dc}}dt-{\frac {d\Omega '}{dc}}\int {\frac {d\Omega }{dc'}}dt\right]dt^{2},\end{aligned}}$