Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/241

${\begin{aligned}-\mathrm {H} _{0}&\left[dada',da,da')-(dadb,db',da')+(dadb',db,da')-(dadc,dc',da')\right.\\&+(dadc',dc,da')-(da'db',db,da)+(da'db,db',da)-(da'dc',dc,da)\\&+(da'dc,dc',da)+(dbdb',db,db')-(dbdc,dc',db')+(dbdc',dc,db')\\&-\left.(db'dc',dc,db)+(db'dc,dc',db)+(dcdc',dc,dc')\right]\\+\mathrm {H} _{0}&\left[(da^{2},da')+(da^{'2},da)+(db^{2},db')+(db^{'2},db)+(dc^{2},dc')+(dc^{'2},dc)\right]\,;\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger

$[da',da]=\Omega ''\iint \left({\frac {d\Omega '}{da'}}dt^{2}\int {\frac {d\Omega }{da}}dt\right)$

$-{\frac {d\Omega '}{da}}.\int \left({\frac {d\Omega '}{da'}}dt\iint \Omega 'dt^{2}\right)+{\frac {d\Omega ''}{da'}}.\int {\frac {d\Omega }{da}}dt\iint \Omega 'dt^{2}$

$(dada',da,da')={\frac {d^{2}\Omega '}{dada'}}.\int {\frac {d\Omega }{da}}dt.\int {\frac {d\Omega }{da'}}dt$

$-{\frac {d\Omega '}{da}}.\int \left({\frac {d^{2}\Omega }{dada'}}dt\int {\frac {d\Omega }{da'}}dt\right)-{\frac {d\Omega '}{da'}}.\int \left({\frac {d^{2}\Omega }{dada'}}dt\int {\frac {d\Omega }{da}}dt\right),$

$(da^{2},da')={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Omega '}{da^{2}}}\left(\int {\frac {d\Omega }{da'}}dt\right)^{2}-{\frac {d\Omega '}{da'}}\int \left({\frac {d^{2}\Omega }{da^{2}}}dt\int {\frac {d\Omega }{da'}}dt\right)\,;$

les autres quantités se déduisent de celles-ci par des permutations entre les différentielles de $a,\,a',\,b,$ etc., qui indiquent des différences partielles relatives aux constantes. Ainsi, par exemple, $(db'dc',dc,db)$ se déduit de $(dada',da,da'),$ en y changeant les différentielles secondes, prises par rapport à $a,\,a',$ en différentielles relatives à $b',\,c'\,;$ les différentielles premières relatives à $a,$ en différentielles relatives à $c,$ et celles qui se rapportent à $a',$ en différentielles relatives à $b.$ La notation $(da^{2},da')$ indique une quantité qui renferme des différentielles secondes par rapport à $a,$ et des différentielles premières relatives à $a'\,;$ on en déduira