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$\left(db^{'2},db\right),$ par exemple, en y changeant les dernières en différentielles relatives à $b,$ et les autres en différentielles secondes par rapport à $b'.$ La notation $[da,da']$ représente une quantité qui ne contient que des différentielles premières, les unes relatives à $a$ et les autres à $a'\,;$ et de même pour les analogues $[da',da],[db,db'],$ etc.

(28) Les diverses quantités qui entrent dans la valeur de ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}},$ y compris celles qui ont pour facteur $n\mathrm {H_{0}H_{1}}$ ou $\mathrm {H} _{0}^{3},$ ne présentent au plus que cinq formes différentes, auxquelles on peut les ramener de la manière suivante. Désignons par $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,$ des fonctions semblables à $\Omega ,$ c’est-à-dire des fonctions qui puissent se développer en séries convergentes de sinus ou de cosinus d’arcs multiples de $nt$ et d’autres arcs proportionnels au temps ; convenons d’indiquer, comme plus haut, par des accents supérieurs, les différences partielles relatives à $\rho$ ou à $nt\,;$ de sorte qu’on ait

${\frac {d\mathrm {P} }{d.nt}}=\mathrm {P} ',\qquad {\frac {d\mathrm {P} '}{d.nt}}=\mathrm {P} '',{\text{etc}}.;$

et de même pour $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} \,:$ les formes de quantités dont nous voulons parler, sont celles-ci :

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {P} '}{dt}}.\int \mathrm {P} ^{2}dt,\\&{\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}}.\iint \left({\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}}.\mathrm {P} dt^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} ''}{dt^{2}}}.\mathrm {P} ^{2},\\&{\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}}.\iint \mathrm {QR} dt^{2}-{\frac {d\mathrm {R} '}{dt}}.\int \mathrm {QP} dt+\mathrm {PRQ'} ,\\&\mathrm {PQR'} -{\frac {d\mathrm {P} '}{dt}}.\int \mathrm {QR} dt-{\frac {d\mathrm {Q} '}{dt}}.\int \mathrm {PR} dt,\\&{\frac {1}{2}}\mathrm {P^{2}R'} -{\frac {dP'}{dt}}.\int \mathrm {PR} dt.\end{aligned}}$