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4^o Enfin substituons ces mêmes valeurs de $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,$ dans la quatrième forme de quantités à examiner ; en réunissant toujours tout ce qui renferme $sin.u,$ on obtient ce terme :

$-{\frac {\mathrm {GG'G''} .\sin .u}{4}}.\left[{\frac {i(in+g)}{(i'+i'')n+g'+g''}}+{\frac {i'(i'n+g')}{(i+i'')n+g+g''}}-i''\right]\,;$

quantité nulle dans l’hypothèse de $i+i'+i''=0,$ et $g+g'+g''=0\,;$ par conséquent, la troisième et la quatrième forme, non plus que la première et la seconde, ne contiennent aucun terme périodique.

(30). Il est donc démontré maintenant, que les variations des élémens elliptiques de la planète troublée, n’introduisent aucun terme non-périodique dans la différentielle seconde de son moyen mouvement, lors même que l’on pousse l’approximation jusqu’aux quantités du troisième ordre par rapport aux forces perturbatrices. La démonstration précédente deviendrait beaucoup trop compliquée, et ne saurait s’étendre aux ordres supérieurs ; mais l’induction ne permet guère de douter qu’une proposition démontrée généralement pour le premier, le second et le troisième ordre, ne soit rigoureusement vraie. L’invariabilité des moyens mouvemens n’en est pas une conséquence nécessaire ; car, dans tout ceci, nous n’avons pas eu égard aux variations des élémens des planètes perturbatrices, lesquelles produisent, dans la fonction $\Omega ,$ des termes qui se présentent dès le second ordre. Les différentielles de ces élémens s’expriment au moyen des différences partielles d’une fonction qui n’est pas la même que $\Omega \,;$ ce qui empêche que l’on puisse appliquer aux termes de la valeur de $d^{2}\rho ,$ résultans de leurs