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§. I^er.

Équations différentielles du probléme.

(1) La théorie des oscillations d’un fluide incompressible et homogène, soumis à l’action de la pesanteur et un tant soit peu écarté de son état d’équilibre, est comprise dans ces deux équations^[1] :

${\begin{array}{lr}{\frac {p}{\rho }}-gz+{\frac {d\varphi }{dt}}=0,&(1)\\{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad \qquad &(2)\end{array}}$

La variable $t$ représente le temps ; $g$ la pesanteur, et $\rho$ la densité du fluide ; $x,\,y,\,z,$ sont les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque du fluide ; $x$ et $y$ sont horizontales ; $z$ est verticale et comptée dans le sens de la pesanteur ; enfin $p$ et $\varphi$ sont deux fonctions inconnues de $x,\,y,\,z$ et $t\,:$ la première représente la pression qui a lieu, au bout du temps $t,$ au point dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z\,;$ les différences partielles de la seconde, relatives à $x,\,y,\,z,$ expriment, pour le même instant et pour le même point, les vîtesses du fluide suivant ces coordonnées, c’est-à-dire que l’on a

${\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {dx}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {dz}{dt}}.$

Ces vîtesses, et les distances des molécules à leurs positions initiales, sont regardées comme très-petites pendant

1. Voyez mon Traité de Mécanique, tome II, page 493.