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toute la durée du mouvement ; on en néglige, dans le calcul, les produits et les puissances supérieures à la première ; d’où il résulte que dans les quantités ${\frac {d\varphi }{dx}},\,{\frac {d\varphi }{dy}},\,{\frac {d\varphi }{dz}},$ on devra considérer $x,\,y,\,z,$ comme constantes et se rapportant à la position initiale de chaque molécule.

À la surface, la pression $p$ est indépendante de $x,\,y,\,z\,;$ pour plus de généralité, on peut supposer qu’elle soit une fonction quelconque de $t,$ que nous représenterons par $\mathrm {P} \,;$ or, en remplaçant, dans les équations précédentes, $p$ par $p+\mathrm {P} ,$ et $\varphi$ par $\varphi -{\frac {1}{\rho }}\int \mathrm {P} dt,$ la fonction $\mathrm {P}$ disparaît, et ces équations conservent identiquement la même forme ; ce qui prouve que la pression à la surface n’a aucune influence sur le mouvement du fluide. De cette manière, $p$ ne représentera plus que l’excès de la pression intérieure, sur la pression extérieure $\mathrm {P} \,;$ si donc on désigne par $z',$ l’ordonnée verticale d’un point quelconque de la surface, on aura, à-la-fois, $z=z'$ et $p=0\,;$ et l’équation de la surface fluide à un instant quelconque, déduite de l’équation (1), sera

$gz'-{\frac {d\varphi }{dt}}=0.\qquad$(3)

(2) Pour fixer les idées, nous prendrons pour le plan des x,\,y, celui du niveau du fluide dans l’état d’équilibre, auquel cas $z'$ sera une très-petite quantité, et par conséquent aussi la valeur de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ qui se rapporte à la surface. On devra donc faire $z=0,$ dans cette valeur, et regarder, dans l’équation (3), $x$ et $y$ comme constantes ; de sorte qu’en la différenciant par rapport à $t,$ on aura simplement