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$y={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$

$\left.+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right).$

Changeant $k$ en $k'$ pour avoir $y',$ l’ajoutant ensuite à $y,$ et remettant pour $k$ et $k',$ leurs valeurs, il vient

$y+y'={\frac {2}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2z}{gt^{2}}}+{\frac {12\left(z^{2}-(x-\alpha )^{2}\right)}{g^{2}t^{4}}}+{\frac {120\left(z^{3}-3z(x-\alpha )^{2}\right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}.\right).$

Si donc on fait

$\int f\alpha .d\alpha =\mathrm {A} ,\qquad \int f\alpha .\alpha d\alpha =\mathrm {A} ',\qquad \int f\alpha .\alpha ^{2}d\alpha =\mathrm {A} '',{\text{ etc}}.,$

la valeur de $\varphi$ du n^o 10 deviendra

$\varphi ={\frac {2}{\pi \,t}}\left(\mathrm {A} +{\frac {2z\mathrm {A} }{gt^{2}}}+{\frac {12\left(\mathrm {A} z^{2}-\mathrm {A} x^{2}+2\mathrm {A} 'x-\mathrm {A} ''\right)}{g^{2}t^{4}}}\right.$

$\left.+{\frac {120\left(\mathrm {A} z^{3}-3\mathrm {A} zx^{2}+6\mathrm {A} 'zx-3\mathrm {A} ''z\right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}\right).$

On déduira de-là pour ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}},$ des valeurs en séries qui seront d’autant plus exactes que le temps sera plus considérable.

En s’en tenant au premier terme de chacune de ces valeurs, afin de connaître les dernières vîtesses des molécules, on aura

${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {48(\mathrm {A} x-\mathrm {A} ')}{\pi \,g^{2}t^{5}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {4\mathrm {A} }{\pi \,gt^{3}}}.$

On voit donc que, vers la fin du mouvement, les vîtesses horizontales sont insensibles par rapport aux vîtesses verticales,