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(15) Pour obtenir les limites dont nous parlons, j’observe que chaque intégrale devant être prise depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ on peut la partager en deux portions : l’une depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{l}},$ et l’autre depuis $a={\frac {1}{l}}$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ Dans la première partie, on a

$sin.al-al.cos.al<{\frac {a^{3}l^{3}}{3}},$

comme on peut s’en assurer par le développement en série ; dans la seconde, on pourra supposer

$sin.al-al.cos.al<1+al\,;$

d’ailleurs l’exponentielle $e^{-az}$ et les sinus et cosinus de $ax$ et de $t{\sqrt {ag}},$ sont toujours moindres que l’unité ; mettant donc l’unité à la place de chacune de ces quantités, et remplaçant le facteur $sin.al-al.cos.al,$ par les limites de sa valeur, on en conclura, abstraction faite du signe,

${\begin{aligned}z'<&{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}da}{3}}+{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}}},\\{\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}&{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}{\sqrt {a}}da}{3}}+{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}$

les intégrales indiquées par $\int '$ devant être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{l}},$ et les autres, depuis $a={\frac {1}{l}}$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ En effectuant le calcul, on trouve

$z'<{\frac {22h}{3\pi }},\qquad {\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {104h}{9\pi \,l}}.{\sqrt {gl}},$

pour les limites demandées.