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(16) Il est encore bon de vérifier que la valeur de $z'$ qui répond à $t=0,$ coïncide avec la valeur initiale de cette ordonnée, savoir :

$z'={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}},\qquad {\text{ou}}\qquad z'=0,$

selon que la variable $x$ est comprise entre $-l$ et $+l,$ ou qu’elle tombe hors de ces limites.

Pour cela, après avoir fait $t=0$ dans l’expression générale de $z',$ j’observe qu’on peut l’écrire sous cette forme :

${\begin{aligned}z'&={\frac {2h}{\pi \,l^{2}}}\left[\int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a.^{3}}}da\right.\\&-x\int {\frac {1-cos.a(l+x)}{a^{2}}}.da+\int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a.^{3}}}.da\\&+\left.x.\int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da\right]\,;\end{aligned}}$

ces quatre intégrales étant toujours prises depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ Or, d’après une formule connue, on a, entre ces limites,

$\int {\frac {sin.ay}{a}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}},$

en prenant le signe $+$ ou le signe $-,$ suivant que la quantité $y$ est positive ou négative ; si donc, pour fixer les idées, on suppose $x$ positive ; que l’on multiplie cette équation par $dy,$ et qu’on intègre ensuite par rapport à $y,$ depuis $y=0$ jusqu’à $y=l+x,$ on en conclura

$\int {\frac {1-cos.a(1+x)}{a^{2}}}.da={\frac {\pi }{2}}(l+x).$

De même, si l’on change la formule citée, en celle-ci :