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$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{4}\right.$

$\left.-{\frac {\mathrm {A} _{6}}{2.3.4.5.6}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right)\,;$

on trouvera, comme dans le n^o 11,

$\mathrm {A} _{2n}={\frac {4^{n}(1.2.3\ldots 2n)}{1.3.5.7\ldots 4n+1}}\,;$

par conséquent on aura

$z'={\frac {4hl}{3\pi \,x}}\left({\frac {gt^{2}}{2x}}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.3.5.7.9.11}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{5}\right.$

$\left.-{\frac {1}{1.3.5.7.9.11.13}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{7}+{\text{etc}}.\right)\,;$

série que l’on déduirait aussi très-aisément des séries trouvées dans ce même numéro.

En s’en tenant à son premier terme, on aurait

$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}\,;$

valeur positive, qui montre qu’à une distance sensible du lieu de l’ébranlement, le fluide commence par s’abaisser au-dessous de son niveau primitif, et que cet abaissement est d’abord proportionnel au quarré du temps, et en raison inverse du quarré de cette distance.

Si l’on égale à zéro la différentielle de $z',$ prise par rapport à $x,$ on déterminera, pour un instant donné, les points les plus élevés et les plus abaissés de la surface fluide, lesquels seront les sommets des ondes apparentes qui se propageront à cette surface. En faisant, pour abréger,