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$\int e^{qv^{2}}dv=1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.9}}+\ldots$

$+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n+1}}+{\text{etc}}.$

par conséquent

$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}e^{-q}\left(1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.9}}+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n+1}}+{\text{etc}}.\right)\,;$

d’où l’on déduira facilement

${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z^{2}}}e^{-q}\left(1-{\frac {q}{3}}-{\frac {q^{2}}{2.3.5}}-{\frac {q^{3}}{2.3.5.7}}-{\frac {q^{4}}{2.3.4.7.9}}-\ldots \right.$

$\left.-{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n-1.2n+1}}-{\text{etc}}.\right)\,;$

égalant à zéro la différentielle de cette quantité, prise par rapport à $t,$ et supprimant les facteurs ${\frac {3\mathrm {A} g}{\pi \,z^{2}}},$ et $e^{-q},$ communs à tous les termes, on trouve

${\begin{aligned}{\frac {1}{3}}-q+{\frac {q^{2}}{2.3}}&+{\frac {q^{3}}{2.3.3.5}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5.7}}+\ldots \\&+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n-3.2n-1}}+{\text{etc}}.=0.\end{aligned}}$

Or, le second terme de cette équation étant seul négatif, il est évident qu’elle ne peut avoir que deux racines réelles et positives. La plus petite est comprise entre zéro et l’unité ; et par la méthode ordinaire, on trouve, pour sa valeur approchée, $q=0{,}3551\,;$ d’où il résulte, pour le premier maximum de vîtesse,

$\mathrm {V} =-(0{,}2328){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z{\sqrt {z}}}}.$