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$s=-\int {\frac {d\varphi }{dz}}dt=-\int {\frac {d\varphi }{dz}}.{\sqrt {\frac {z}{gq}}}.dq\,;$

l’intégrale étant prise depuis $q=0,$ jusqu’à $q=2{,}3926.$ Mais pour obtenir commodément la valeur numérique de $s,$ il faut employer un développement de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ qui ne renferme pas l’exponentielle $e^{-q},$ contenu dans le précédent.

Reprenons donc la valeur de $\varphi ,$ sous forme finie, que nous pouvons écrire ainsi :

$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}\int e^{-q\left(1-v^{2}\right)}dv\,;$

développant l’exponentielle, et intégrant ensuite depuis $v=0$ jusqu’à $v=1,$ comme dans le n^o 11, il vient

$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}\left(1-{\frac {2q}{1.3}}+{\frac {(2q)^{2}}{1.3.5}}-{\frac {(2q)^{3}}{1.3.5.7}}+{\frac {(2q)^{4}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)\,;$

donc, à cause de ${\frac {dq}{dz}}=-{\frac {q}{z}},$ on aura

${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z^{2}}}\left(1-{\frac {2(2q)}{1.3}}+{\frac {3(2q)^{2}}{1.3.5}}-{\frac {4(2q)^{3}}{1.3.5.7}}+{\frac {5(2q)^{4}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)\,;$

et à cause de $t=2{\sqrt {\frac {qz}{g}}},$ on en conclura

$s={\frac {\mathrm {A} }{\pi \,z}}\left(2q-{\frac {(2q)^{2}}{1.3}}+{\frac {(2q)^{3}}{1.3.5}}-{\frac {(2q)^{4}}{1.3.5.7}}+{\frac {(2q)^{5}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)+const.$

La constante arbitraire est nulle, puisque l’intégrale doit