Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/314

$z'={\frac {\mathrm {B} c}{g}}\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a')\,;$

et, pour la faire coïncider avec l’équation donnée, on fera

$a'=0,\qquad a={\frac {\pi }{2l}},\qquad \mathrm {B} ={\frac {gk}{\left(e^{ah}+e^{-ah}\right)c}}\,;$

par conséquent on aura

$\varphi ={\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}.{\frac {gk}{c}}.cos.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.c\,t.$

Maintenant, si l’on suppose infinie la profondeur $h$ du fluide, la valeur de $c$ se réduit à $c={\sqrt {ag}}={\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}},$ comme dans le n^o 8, et celle de $\varphi$ devient

$\varphi =k{\sqrt {\frac {2lg}{\pi }}}.e^{-{\frac {\pi \,z}{2l}}}cos.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.t{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}}.$

On en déduit, pour les vîtesses verticale et horizontale du fluide, en un point et en un instant quelconques,

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dz}}&=-k{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}}.e^{-{\frac {\pi \,z}{2l}}}cos.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.t{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}},\\{\frac {d\varphi }{dx}}&=-k{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}}.e^{-{\frac {\pi \,z}{2l}}}sin.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.t{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}},\end{aligned}}$

où l’on voit que, par rapport à la profondeur $z,$ la loi de ces vîtesses est exprimée par une exponentielle ; en sorte qu’elles décroissent en progression géométrique, quand $z$ croît en progression arithmétique. Or, il résulțe d’un tel décroissement qu’à de grandes profondeurs, relativement