Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/315

à la quantité $2l,$ ces vîtesses seront très-affaiblies, et incomparablement moindres que dans le cas d’un ébranlement partiel.

Au reste, cet ébranlement de la surface dans toute son étendue, peut être regardé comme une suite d’ébranlemens partiels dont la largeur commune serait $2l,$ et dont les uns résulteraient d’une élévation de la surface, et les autres d’un abaissement ces ébranlemens partiels produisent dans la masse fluide, des vîtesses de signes contraires ; et le calcul montre qu’elles se détruisent à très-peu-près quand la profondeur $z$ est un multiple de $2l,$ qui n’a pas même besoin d’être très-élevé. C’est de cette manière qu’on peut concevoir la différence essentielle que nous remarquons entre le cas d’un ébranlement partiel, et celui d’un ébranlement qui s’étend à la surface entière.

§. V.

Intégration des équations du § I^er, dans le cas où l’on considère
les trois dimensions du fluide.

(30) Les équations différentielles du problême se résolvent, dans ce cas, en suivant la même marche que dans celui où le fluide était réduit à deux dimensions. Ainsi, nous satisferons d’abord à l’équation (2) du n^o 1, par une série de cette forme :

$\varphi =\sum \left(\mathrm {A} e^{-z{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mathrm {A} 'e^{z{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;$

$\mathrm {A,\,A'} ,\,a,\,a,\,b,\,b',$ étant des quantités indépendantes de $x,\,y,\,z,$ et le signe $\sum$ désignant une somme qui s’étend à toutes