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aurons simplement

$\int cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {d\omega }{cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}=\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right){\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{gt^{2}}}}.$

On trouvera de même

$\int sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {d\omega }{cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}=\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right){\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{gt^{2}}}}\,;$

d’où l’on conclut

$z'=-{\frac {[[?]]hll'}{\pi \,g{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iint cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.{\frac {\left(1-s^{2}\right)s}{\rho }}ds\,d\psi +{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}$

de sorte qu’il ne reste plus à effectuer que les intégrations relatives $s$ et à $\psi .$

(41) Pour cela, il est nécessaire de substituer pour p sa valeur, qui est fonction de ces deux variables (n^o 37). Or, en développant, suivant les puissances de $l$ et $l',$ on a

${\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{r}}+{\frac {sl.cos.\theta .cos.\psi +sl'.sin.\theta .sin.\psi }{r^{2}}}+{\text{etc.}}\,;$

en dehors du cosinus, nous pouvons négliger $l$ et $l',$ et remplacer $\rho$ par $r\,;$ mais, sous le cosinus, nous conserverons leurs premières puissances ; de plus, nous ferons

${\begin{aligned}l\;.cos.\theta &={\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\psi +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}.cos.\theta ',\\l'.cos.\theta &={\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}.sin.\theta '\,;\end{aligned}}$

par conséquent nous aurons

${\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{r}}+{\frac {s{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}{r^{2}}}.cos.(\psi -\theta ')\,;$