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et faisant aussi, pour abréger,

${\frac {gt^{2}{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}{4r^{2}}}=k,$

la valeur de $z'$ deviendra

$z'=-{\frac {hll'}{\pi \,gr{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iint cos.\left({\frac {gt^{2}}{4\rho }}+kscos.(\psi -\theta ')\right).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi +{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.$

On s’assurera, comme dans le n^o 31, que cette quantité est indépendante de l’angle $\theta '$ qui disparaît par l’intégration relative à $\psi \,;$ faisant donc $\theta '=0,$ on aura

${\begin{aligned}z'=-&{\frac {hll'}{\pi \,gr{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left[cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right.\\&\left.-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint sin.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right]+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.\end{aligned}}$

La seconde intégrale comprise, entre les parenthèses, est nulle pour les limites $\psi =0$ et $\psi =2\pi ,$ parce qu’elle se compose d’éléments égaux deux à deux et de signes contraires ; on peut ne prendre la première, que depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi ={\frac {\pi }{2}},$ pourvu que l’on quadruple le résultat ; on aura donc

$z'={\frac {2{\sqrt {2}}hll'}{\pi \,gr}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left[cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right]+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.$

Observons maintenant que $r$ étant très-grand par rapport à $l$ et à $l',$ et $gt^{2}$ très-grand par rapport à $r,$ la quantité désignée par $k$ peut avoir telle valeur qu’on voudra ; si donc on effectue la double différentiation indiquée par rapport à $t,$