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et qu’on mette pour $gt^{2},$ hors des sinus et cosinus, sa valeur en fonction de $k,$ savoir :

$gt^{2}={\frac {4kr^{2}}{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}},$

on obtiendra un terme divisé par $r,$ et d’autres termes divisés par $r^{2},$ ou même par $r^{3},$ qui seront très-petits et que nous pourrons négliger relativement au premier. Nous pourrons aussi supprimer le terme ${\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}$ qui se trouvera divisé par $r^{4}\,;$ et au moyen de ces réductions nous aurons

$z'={\frac {2{\sqrt {2}}hll'k}{\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}$

$.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi .\quad (f)$

L’intégrale relative à $s$ pourrait s’obtenir immédiatement ; mais il sera plus simple de faire

$s.cos.\psi =a,\qquad s.sin.\psi =b,\qquad s\,ds\,d\psi =da\,db\,;$

l’intégrale relative aux nouvelles variables $a$ et $b,$ devra s’étendre à tous les points de l’aire d’un quart-de-cercle dont le rayon est l’unité ; il faudra donc intégrer depuis $b=0,$ jusqu’à $b={\sqrt {1-a^{2}}},$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a=1\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi &=\iint \left(1-a^{2}-b^{2}\right)cos.ka.da\,db\\&={\frac {2}{3}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da\,;\end{aligned}}$

d’où il resulte enfin

$z'={\frac {4{\sqrt {2}}hll'k}{3\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da.$