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(42) L’intégrale qui reste à prendre, et dont les limites sont $a=0$ et $a=1,$ ne peut pas s’obtenir exactement ; mais on en peut assigner une limite qui prouvera que la valeur de $z'$ ne croît pas indéfiniment avec le temps, et qu’au-contraire elle devient nulle, comme cela doit être, lorsque $t$ devient infini.

En effet, en intégrant deux fois de suite par parties, et ayant égard aux limites $a=0$ et $a=1,$ on trouve

$k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da={\frac {3}{k}}\int {\frac {\left(1-2a^{2}\right).cos.ka}{\sqrt {1-a^{2}}}}.da\,;$

or, entre ces limites, la quantité $(1-2a^{2}).cos.ka$ n’est jamais plus grande que l’unité ; on aura donc, abstraction faite du signe,

$k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da<{\frac {3}{k}}\int {\frac {da}{\sqrt {1-a^{2}}}}<{\frac {3\pi }{2k}}\,;$

et comme $cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}$ ne peut pas non plus surpasser l’unité, il en résulte

$z'<{\frac {2{\sqrt {2}}hll'}{kr{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}},$

ou bien, en remettant pour $k$ sa valeur,

$z'<{\frac {8{\sqrt {2}}hll'r}{gt^{2}\left(l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta \right)}}\,;$

limite qui devient nulle, comme on voit, lorsque $t$ devient infini.

(43) Si nous faisons, pour abréger,

${\frac {4{\sqrt {2}}.hll'k.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da}{3\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}=\mathrm {K} ,$