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(45) En développant $\cos .ka$ suivant les puissances de $k,$ $\mathrm {P}$ se trouve développée de même ; et si l’on fait généralement

$\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}a^{2n}da=A_{n},$

on aura

$\mathrm {P} =\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} _{1}{\frac {k^{2}}{2}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {k^{4}}{2.34}}-\mathrm {A} _{3}{\frac {k^{6}}{2.3.4.5.6}}+{\text{etc.}}$

Au moyen de l’intégration par parties, on peut réduire $\mathrm {A} _{n}$ à $\mathrm {A} _{n-1}\,;$ et si l’on a égard aux limites $a=0$ et $a=1,$ on trouve

$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n-1}{2(n+2)}}.\mathrm {A} _{n-1}\,;$

on a d’ailleurs

$\mathrm {A} _{0}=\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.da={\frac {3\pi }{16}}\,;$

d’où l’on conclut A,

$\mathrm {A} _{n}={\frac {1.3.5.7\ldots 2n-1}{1.2.3.4\ldots n+2}}.{\frac {3\pi }{2^{n+3}}},$

et par conséquent

$\mathrm {P} ={\frac {3\pi }{8}}({\frac {1}{1.2}}-{\frac {1}{2.3}}.{\frac {k^{2}}{4}}+{\frac {1}{(1.2)^{2}.3.4}}.\left({\frac {k^{2}}{4}}\right)^{2}-{\frac {1}{(1.2.3)^{2}.4.5}}.\left({\frac {k^{2}}{4}}\right)^{3}+\ldots$

$\ldots \pm {\frac {1}{(1.2.3\ldots n)^{2}.(n+1).(n+2)}}\left({\frac {k^{2}}{4}}\right)^{n}\mp {\text{etc}}.).$

D’après cette valeur de $\mathrm {P} ,$ et en faisant ${\frac {k^{2}}{4}}=p,$ l’équation $(h)$ devient

${\frac {3}{2}}-{\frac {7p}{2.3}}+{\frac {11p^{2}}{(1.2)^{2}.3.4}}-{\frac {15p^{3}}{(1.2.3)^{2}.4.5}}+\ldots$

$\ldots \pm {\frac {(3+4n)p^{n}}{(1.2.3\ldots n)^{2}(n+1)(n+2)}}\mp {\text{etc.}}=0\,;\quad (i)$