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$f(\alpha ,\beta )=h-b+b{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}}.$

Or, ${\frac {u}{a}}$ doit être une fraction d’autant plus petite que le corps est moins enfoncé dans le fluide ; on aura donc une série convergente, en développant ${\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}}$ suivant les puissances de cette fraction ; et si l’on néglige les puissances supérieures à la cinquième, on aura

$f(\alpha ,\beta )=h-{\frac {bu^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {bu^{4}}{8a^{4}}}.$

En égalant cette quantité à zéro, $u$ deviendra le rayon de la section à fleur d’eau que nous avons précédemment désigné par $l\,;$ on a donc

$h={\frac {bl^{2}}{2a^{2}}}\left(1+{\frac {l^{2}}{4a^{2}}}\right).$

Tirant de-là la valeur de $b,$ la substituant dans l’équation précédente, et négligeant les quarrés et les produits des fractions ${\frac {u^{2}}{a^{2}}}$ et ${\frac {l^{2}}{a^{2}}},$ il vient

$f(\alpha ,\beta )=h\left(1-{\frac {u^{2}}{l^{2}}}\right)\left(1+{\frac {u^{2}}{4a^{2}}}\right)\,;$

ou bien en faisant, comme plus haut (n^o 37),

$u={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}=ls,$

cette valeur de $f(\alpha ,\beta )$ prend la forme :

$f(\alpha ,\beta )=h\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)\,;$

en faisant, pour abréger, ${\frac {l^{2}}{4a^{2}}}=m.$