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jusqu’à $\omega '={\frac {1}{2}}\pi ,$ pourvu que l’on double le résultat. Si l’on fait alors

$\operatorname {tang} .\omega '=u,\qquad d\omega '={\frac {du}{1+u^{2}}},$

les limites relatives à $u$ seront zéro et l’infini, et l’intégrale dont il s’agit se changera en celle-ci :

$\int _{0}^{\infty }{\frac {4\left(\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '\right)^{2}du}{\left(\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '\right)^{2}+r'^{2}\cos .^{2}\theta \sin .^{2}\theta '+\left(\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '\right)u^{2}}},$

dont la valeur est

$2\pi =\left[\left(\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '\right)^{2}+r'^{2}\cos .^{2}\theta \sin .^{2}\theta '\right]^{-{\frac {1}{2}}},$

et, en particulier,

${\frac {2\pi }{\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta }},\qquad {\frac {2\pi }{\mu +{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta }},$

pour $\theta '=0$ et $\theta '=\pi .$ La valeur de $m$ s’en déduit immédiatement ; mais celle de ${\frac {dm}{dt}}$ a une expression plus simple, savoir :

${\frac {dm}{dt}}=\pm {\frac {2\pi a'{\sqrt {-1}}}{\mu }}\left({\frac {1}{\mu +{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta }}-{\frac {1}{\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta }}\right)\,;$

le signe ambigu répondant à celui de $\pm at$ que $\mu$ renferme. La valeur de ${\frac {dm'}{dt}}$ s’obtiendra par la substitution de $\mu '$ au lieu de $\mu .$

On conclut de là