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pourvu que l’on détermine convenablement les limites relatives à $\theta '$ et $\omega '.$ Mais quelles que soient ces limites, que nous fixerons dans le numéro suivant, il nous suffit maintenant d’observer qu’elles répondront à $\theta ={\frac {1}{2}}\pi$ et $\theta =b,$ et que, par conséquent, la quantité $\Theta$ y sera égale à zéro. En intégrant par partie, relativement à $\theta ',$ on aura donc

${\begin{aligned}\iint \psi '&(\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at)\Theta \sin .\theta 'd\theta '\\&={\frac {1}{r_{1}}}\int (\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at)f'(\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at){\frac {d\Theta }{d\theta '}}d\theta ',\end{aligned}}$

et l’on verra, comme dans le n^o 13 que cette dernière intégrale peut être négligée, dans le cas des points très-éloignées de $\mathrm {O} '.$ On pourra donc aussi négliger la quantité $\Omega ''\,;$ ce qu’il s’agissait de démontrer.

Ainsi relativement à ces points, nous aurons seulement à considérer les formules (l), et à leur faire subir des réductions semblables à celles des n^os 13 et 14.

(18) À l’égard des deux dernières formules (l), qui répondent aux points du fluide inférieur, nous ferons

$2h-x=r'\cos .u,\qquad y=r'\sin .u\sin .v,\qquad z=r'\sin .u\cos .v,$

et nous aurons

$\varpi '=r'\left(\cos .\theta \cos .u+\sin .\theta \sin .u\cos .(\omega -v)\right)\pm a't.$

La variable $r'$ sera le rayon vecteur d’un point quelconque $\mathrm {M}$ de ce fluide, qui aura son origine en un point $\mathrm {O}$ du fluide supérieur, situé à la hauteur $h$ au-dessus de la surface de séparation et sur la même verticale que $\mathrm {O} '\,;$ $u$ désignera l’angle compris entre ce rayon $\mathrm {OM}$ et la verticale $\mathrm {OO} ',$ et $v$ l’angle que fait le plan de ces deux droites avec le plan vertical passant par l’axe des $z.$ Par le point $\mathrm {O} ,$ faisons passer un plan