Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/609

peut négliger le dernier terme de chacune de ces deux formules. En les ajoutant ensuite, nous aurons

$\int _{0}^{m}\Theta \psi '(r'\cos .\theta '\pm a't)\sin .\theta 'd\theta '+\int _{m}^{\mu }\Theta '\psi '(r'\cos .\theta '\pm a't)\sin .\theta 'd\theta '$

$={\frac {\mathrm {U} }{r'}}(r'\pm a't)f'(r'\pm a't)-{\frac {1}{r'}}(r'\cos .\mu \pm a't)f(r'\cos .\mu \pm a't).$

et, d’après les équations (m),

$\Pi '+\Omega '={\frac {\mathrm {U} }{2r'}}(r'\pm a't)f'(r'\pm a't)$

$-{\frac {1}{4\pi r'}}\int _{0}^{2\pi }(r'\cos .\mu \pm a't)f'(r'\cos .\mu \pm a't)d\omega '.$

Je négligerai aussi, comme dans le n^o cité, cette dernière intégrale relative à $\omega '\,:$ en mettant pour $\mathrm {U}$ sa valeur et ayant égard au double signe de $a't,$ il en résultera

${\begin{aligned}\Pi '+\Omega '={\frac {a'^{2}\cos .u-a{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}u}}}{a'^{2}\cos .u+a{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}u}}}}&\left[(r'+a't)f'(r'+a't)\right.\\&+\left.(r'-a't)f'(r'-a't)\right],\end{aligned}}$

(p)

depuis $u=0$ jusqu’à $u=b,$ c’est-à-dire depuis $\sin .u=0$ jusqu’à $\sin .u={\frac {a'}{a}}.$ Nous n’avons pas besoin de connaître séparément les quantités $\Pi '$ et $\Omega '\,;$ car c’est leur somme qui entre dans la valeur de l’inconnue $\varphi '.$

Comme les deux limites $m_{1}$ et $m_{2}$ répondent à $\theta =b,$ valeur de $\theta$ pour laquelle on a $\Theta =\Theta '=1,$ il s’ensuit qu’en intégrant par partie, nous aurons