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lieu, comme les formules (o), depuis $u=b$ jusqu’à $u={\frac {1}{2}}\pi .$

Nous voyons donc que la valeur de la partie $\Pi '+\Omega '$ de $\varphi '$ sera donnée par la formule (p) ou par la formule (q), selon qu’on aura $\sin .u<$ ou $>{\frac {a'}{a}}\,:$ dans le cas de $\sin .u={\frac {a'}{a}},$ on emploiera indifféremment l’une ou l’autre de ces deux formules qui seront alors égales entre elles.

(20) Il ne nous reste plus qu’à transformer et réduire de même la première formule (l). Pour cela, je faits, comme dans le n^o 14,

$h=r_{1}\cos .u,\qquad y=r_{1}\sin .u\sin .v,\qquad z=r_{1}\sin .u\cos .v\,;$

c’est-à-dire, que je désigne par $r_{1}$ le rayon vecteur dont l’origine est $\mathrm {O} ',$ du point de la surface de séparation des deux fluides qui a $y$ et $z$ pour coordonnées horisontales, par $u$ l’angle que fait ce rayon avec la verticale élevée par le point $\mathrm {O} ',$ et par $v$ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des $x$ et $z.$ Je substitue, en outre, à $\theta$ et $\omega ,$ les variables $\theta '$ et $\omega '$ du numéro cité. La quantité $\varpi$ qui entre dans la première équation (l) aura pour valeur

$\varpi ={\frac {x-h}{a}}{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}\theta }}+r_{1}\cos .a\theta '\pm a't\,;$

et cette équation deviendra

$\Pi ={\frac {1}{2\pi }}\iint \Theta \psi '\varpi \sin .\theta 'd\theta 'd\omega ',$

en faisant, pour abréger,

${\frac {a^{2}\cos .\theta }{a'^{2}\cos .\theta +{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}\theta }}}}=\Theta ,$

mettant $\sin .\theta 'd\theta 'd\omega '$ au lieu de $\sin .\theta d\theta d\omega ,$ et considérant