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$\Theta$ comme une fonction de $\theta '$ et $\omega '.$ Quant aux limites de l’intégrale relative à ces variables, elles seront les mêmes que pour la seconde équation (l), en sorte que si l’on fait passer par le point $\mathrm {O} ',$ un plan horisontal et une surface conique qui ait son sommet en ce point et dont toutes les génératrices fassent l’angle $b$ avec la verticale, et que du même point $\mathrm {O} '$ comme centre et d’un rayon égal à l’anité, ou décrive au-dessus du plan horisontal, une demi-surface sphérique, l’intégrale dont il s’agit s’étendra à tous les points de la portion de cette demi-surface, terminée par la surface conique. On aura d’ailleurs

$\sin .\theta 'd\theta '=-{\frac {1}{r_{1}}}{\frac {d\varpi }{d\theta '}}d\theta '-{\frac {x-h}{a}}{\frac {d.{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}\theta }}}{d\theta '}}d\theta ',$

et, par conséquent

$\Pi =-{\frac {1}{2\pi r_{1}}}\iint \Theta \psi '\varpi {\frac {d\varpi }{d\theta '}}d\theta 'd\omega '$

$-{\frac {x-h}{2\pi ar_{1}}}\iint \Theta \psi '\varpi {\frac {d.{\sqrt {da'^{2}-a^{2}\sin .^{2}\theta }}}{\theta '}}d\theta '.$

Nous supposerons le point du fluide supérieur auquel cette expression de $\Pi$ appartient, situé à une distance $x-h$ au-dessus de la surface de séparation des deux fluides, très-petite par rapport à sa distance du centre de l’ébranlement $\mathrm {O} '$ au-dessous de cette surface, et, à plus forte raison, par rapport au rayon $r_{1}\,;$ ce qui permettra de négliger le second terme de la valeur de $\Pi ,$ à cause de facteur ${\frac {x-h}{r_{1}i}}.$ Cela étant, nous aurons

$\Pi =-{\frac {1}{2\pi r_{1}}}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{m}\Theta \psi '\varpi {\frac {d\varpi }{d\theta '}}d\theta '\right)d\omega ',$

dans le cas de $u<b,$ et