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Soit aussi r le rayon vecteur $\mathrm {OK}$ du point $\mathrm {K} ,$ et, par conséquent,

$r^{2}=h^{2}+(\zeta -\eta )^{2}.$

À cause de $\zeta =r_{1}\sin .u_{1},$ $h^{2}+\zeta ^{2}=r_{1}^{2},$ $\eta =\rho \sin .u',$ cette équation est la même chose que

$r^{2}=r_{1}^{2}-2r_{1}\rho \sin .u_{1}\sin .u'+p^{2}\sin .^{2}u'\,;$

et, comme par hypothèse, $\rho$ est très-petit par rapport à $r_{1},$ on en conclura, à très-peu près,

$r=r_{1}-\rho \sin .u_{1}\sin .u'.$

Si l’on appelle $u$ l’angle que fait le rayon $r$ avec la verticale $\mathrm {OO} ',$ la différence $u-u_{1}$ sera du même ordre de grandeur que ${\frac {\rho }{r_{1}}}\,;$ dans les formules (8), on pourra faire $u_{1}=u\,;$ la seconde donnera alors

$\sin .u'={\frac {a'}{a}}\sin .u\,;$

(9)

on aura, en même temps,

$r_{1}=r+{\frac {a'}{a}}\rho \sin .^{2}u,\qquad x={\frac {1}{a}}\rho {\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}\,;$

et si l’on fait

$t={\frac {r}{a}}+t',$

il en résultera

${\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}-at={\frac {a}{a'}}(\rho -a't').$

Donc, en faisant

$\rho -a't'={\frac {a'}{a}}\varepsilon ',$

la quantité $\mathrm {R}$ deviendra