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${\begin{aligned}\mathrm {V} '&=\mathrm {V} '_{0}-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}\operatorname {tang} .\mathrm {V} '_{0}\\&-{\frac {1}{4}}\varepsilon {\frac {\sin .\left(\varphi +{\frac {s}{b}}\right)\sin .\left(\varphi -{\frac {s}{b}}\right)}{\sin .^{2}\varphi \cos .^{2}{\frac {s}{b}}}}\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}\operatorname {tang} .\mathrm {V} '_{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right].\end{aligned}}$

On voit, par ce résultat, la correction qu’il faudra faire à l’azimut $\mathrm {V} '_{0}$ calculé dans l’hypothèse sphérique, pour qu’il satisfît à la condition d’ellipticité du sphéroïde. Dans la recherche de la figure de la terre, on détermine de préférence la longitude $\varphi$ par l’azimut $\mathrm {V} '\,:$ tel est le cas suivant.

III^e cas. Connaissant la longueur $s$ d’un arc perpendiculaire au méridien et l’azimut $\mathrm {V} '$ de cette ligne de plus courte distance sur l’horizon de son sommet, trouver les latitudes $\mathrm {H'H''}$ de ses extrémités et leur différence $\varphi$ en longitude.

Solution. Le triangle sphérique correspondant au triangle donné procure évidemment la relation

$\operatorname {tang} .\lambda ={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .\sigma }}\,;$

ainsi, en faisant comme ci-dessus, $\sigma ={\frac {s}{b}}+\tau ,$ l’on a

$\operatorname {tang} .\lambda ={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}}.$

Si donc $\lambda _{0}$ est la valeur qu’acquiert $\lambda$ lorsque $\tau =0,$ on a

$\operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .{\frac {s}{b}}}},$

et, en vertu du théorème de Maclaurin,